An Unified FPT Algorithm for Width of Partition Functions

Description

During the last decades, several polynomial-time algorithms have been designed that decide whether a graph has tree-width (resp., path-width, branch-width, etc.) at most k, where k is a fixed parameter. Amini et al. (Discrete Mathematics'09) use the notions of partitioning-trees and partition functions as a generalized view of classical decompositions of graphs, namely tree decomposition, path decomposition, branch decomposition, etc. In this paper, we propose a set of simple sufficient conditions on a partition function Φ, that ensures the existence of a linear-time explicit algorithm deciding if a set A has Φ-width at most k (k fixed). In particular, the algorithm we propose unifies the existing algorithms for tree-width, path-width, linear-width, branch-width, carving-width and cut-width. It also provides the first Fixed Parameter Tractable linear-time algorithm to decide if the q-branched tree-width, defined by Fomin et al. (Algorithmica'09), of a graph is at most k (k and q are fixed). Moreover, the algorithm is able to decide if the special tree-width, defined by Courcelle (FSTTCS'10), is at most k, in linear-time where k is a Fixed Parameter. Our decision algorithm can be turned into a constructive one by following the ideas of Bodlaender and Kloks (J. of Alg. 1996).

Abstract (French)

Au cours de ces dernières années, plusieurs algorithmes polynomiaux ont été conçus pour décider si un graphe a largeur arborescente (resp., largeur en chemin, branch-width, etc) au plus k, où k est un paramètre fixe. Amini et al. (Discrete Mathematics'09) ont utilisé les notions d'arbres de partition et de fonctions de partition comme une vision généralisée des décompositions des graphes classiques, à savoir la décomposition arborescente, la décomposition en chemin, la décomposition en branche, etc. Dans cet article, nous proposons un ensemble de conditions sur une fonction de partition Φ, qui assure l'existence d'un algorithme explicite en temps linéaire pour décider si un ensemble A a Φ-largeur au plus k (oú k est fixé). En particulier, l'algorithme que nous proposons unifie les algorithmes existants pour la largeur arborescente, largeur en chemin, la largeur linéaire, la largeur de branche, cut-width et carving-width. Il est également le premier algorithme FPT pour décider si la largeur arborescente q-ramifié, définie par Fomin et al. (Algorithmica'09), d'un graphe est au plus k (k et q sont fixées). De plus, l'algorithme est capable de décider si la largeur arborescente spéciale, définie par Courcelle (FSTTCS'10), est plus k, où k est un paramètre fixé. Notre algorithme de décision peut être transformé en un algorithme constructif en suivant les idées de Bodlaender et Kloks (J. of Alg., 1996).

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