High-order discontinuous Galerkin methods for solving the time-domain Maxwell equations on non-conforming simplicial meshes

Description

This work is concerned with the development of a high-order discontinuous Galerkin time-domain (DGTD) method for solving Maxwell's equations on non-conforming simplicial meshes. First, we present a DGTD method based on high-order nodal basis functions for the approximation of the electromagnetic field within a simplex, a centered scheme for the calculation of the numerical flux at an interface between neighboring elements, and a second-order leap-frog time integration scheme. Moreover, the mesh is refined locally in a non-conforming way resulting in arbitrary level hanging nodes. The resulting method is non-dissipative, stable under some CFL-like condition, conserves a discrete version of the electromagnetic energy, and does not introduce much dispersion error.
To reduce the computational costs of the method, we propose a /hp-/like DGTD method which combines local /h-/refinement and /p-/enrichment. Then, we report on a detailed numerical evaluation of the DGTD methods using several propagation problems in homogeneous and heterogeneous media. In particular, we compare the conforming and non-conforming DGTD methods in terms of accuracy, convergence and computational costs. In order to improve the accuracy and rate of convergence of the DGTD methods previously studied, we study a family of high-order explicit leap-frog time schemes. These time schemes ensure the conservation of the electromagnetic energy as well as the stability under some CFL-like condition. We also establish rigorously the convergence of the semi-discrete approximation to Maxwell's equations and we provide bounds on the global divergence error. Numerical experiments show that for a given mesh resolution, the fourth-order leap-frog scheme is more accurate and requires less CPU time than the second-order scheme, despite an increased computational overhead. Furthermore, we obtain a spectral convergence with the fourth-order leap-frog scheme.

Abstract (French)

Ce travail porte sur le développement d'une méthode Galerkin discontinue (GDDT) d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes non-conformes. On présente tout d'abord une méthode GDDT reposant sur des fonctions de base nodales pour approcher le champ électromagnétique dans un simplexe, un schéma centré pour évaluer les flux numériques aux interfaces entre cellules voisines et un schéma saute-mouton du second ordre pour l'intégration temporelle. De plus, cette méthode autorise l'utilisation de maillages non-conformes présentant un nombre arbitraire de noeuds flottants. La méthode résultante est non-dissipative, stable sous une condition de type CFL, conserve un équivalent discret de l'énergie électromagnétique, et très peu dispersive. Afin de diminuer le coût de calcul de cette méthode, on propose une méthode GDDT de type /hp/, qui combine /h-/raffinement et /p/-enrichissement locaux tout en préservant la stabilité. On réalise ensuite une étude numérique détaillée des méthodes GDDT sur la base d'une série de problèmes de propagation d'ondes en milieux homogène et hétérogène. En particulier, on effectue une comparaison des méthodes Galerkin discontinues conformes et non-conformes en termes de précision, convergence et coûts de calcul.
Afin d'améliorer la précision et la vitesse de convergence des méthodes GDDT précédentes, on étudie une famille de schémas saute-mouton d'ordre
arbitrairement élevé. Ces schémas temporels nous assurent sur tout maillage la conservation d'un équivalent discret de l'énergie électromagnétique ainsi que la stabilité des méthodes GDDT résultantes sous une condition de type CFL. On réalise aussi une étude de convergence /hp a priori/ ainsi qu'une étude de convergence de l'erreur sur la divergence. Des expériences numériques montrent que pour un maillage donné, le schéma saute-mouton du quatrième ordre est moins coûteux en temps de calcul et plus précis que le schéma saute-mouton du second ordre, en dépit d'une complexité arithmétique accrue.
De plus, on obtient une convergence exponentielle avec le schéma saute-mouton du quatrième ordre.

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