Satisfaire un internaute impatient est difficile

Description

Considérons un internaute qui va d'une page Web à une autre en suivant les liens qu'il rencontre. Pour éviter que l'internaute ne (s'im)patiente, il est important d'essayer de télécharger les documents avant que l'internaute ne les atteigne. Cependant, le coût d'un tel pré-téléchargement ne doit pas excéder le gain en temps qu'il génère. Ainsi, il faut minimiser la bande passante utilisée pour le pré-téléchargement tout en s'assurant que l'internaute impatient n'attende jamais. Nous modélisons ce problème sous forme d'un jeu de type Cops and Robber dans les graphes. En particulier, étant donnés un graphe $G$ qui représente le graphe du Web et une page Web de départ $v_0 \in V(G)$, nous définissons l'indice de contrôle de $G$, $ic(G,v_0) \in \mathbb{N}$, qui modélise la vitesse minimum de téléchargement suffisante pour que l'internaute partant de $v_0$ n'attende jamais quoi qu'il fasse. Nous considérons le problème de décider si $ic(G,v_0) \leq k$ et démontrons plusieurs résultats de complexité. En particulier, décider si $ic(G,v_0) \leq 2$ est NP-difficile si $G$ est cordal, et décider si $ic(G,v_0) \leq 4$ est PSPACE-complet si $G$ est un graphe orienté acyclique. Nous donnons un algorithme exponentiel exact qui calcule $ic(G,v_0)$ en temps $O^*(2^n)$ dans un graphe de $n$ sommets quelconque. Puis, nous montrons que le problème est polynomial dans le cas des arbres et des graphes d'intervalles. Enfin, nous donnons une caractérisation combinatoire de l'indice de contrôle. Pour tout graphe $G$ et $v_0 \in V(G)$, $ic(G,v_0) \geq \max_{S} \lceil \frac{|N[S]|-1}{|S|} \rceil$ avec $v_0 \in S \subseteq V$, $S$ induit un sous-graphe connexe et $N[S]$ l'ensemble des sommets de $S$ ou voisins d'un sommet de $S$. Il y a de plus égalité dans le cas des arbres.

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International audience

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