DDFV method : applications to fluid mechanics and domain decomposition

Description

The goal of this thesis is to study and develop numerical schemes of finite volume type for problems arising in fluid mechanics, namely Stokes and Navier-Stokes problems. The schemes we choosed are of discrete duality type, denoted by DDFV; this method works on staggered grids, where the velocity unknowns are located at the centers of control volumes and at the vertices of the mesh, and the pressure unknowns are on the edges of the mesh. This kind of construction has two main advantages: it allows to consider general meshes (that do not necessarily verify the classical ortogonality condition required by finite volume meshes) and to reconstruct and mimic at the discrete level the dual properties of the continuos differential operators. We start by the study of the discretization of Stokes problem with mixed boundary conditions of Dirichlet/Neumann type; the well-posed character of this problem is strictly relied to Inf-sup inequality, that has to be verified. In the DDFV setting, this inequality has been proven for particular meshes; we can avoid this hypothesis, by adding some stabilization terms in the equation of conservation of mass. In the first place, we study a stabilized scheme for Stokes problem in Laplace form, by showing its well-posedness, some error estimates and numerical tests. We study the same problem in divergence form, where the strain rate tensor replaces the gradient; here, we suppose that the Inf-sup inequality is verified, and we design a well-posed scheme followed by some numerical tests. We consider then the incompressible Navier-Stokes problem. At first, we study this problem coupled with « open » boundary conditions on the outflow; this kind of conditions arises when an artificial boundary is introduced, to save computational ressources or for physical reasons. We write a well-posed scheme and some energy estimates, validated by numerical simulations. Secondly, we address the domain decomposition method without overlap for the incompressible Navier-Stokes problem, by writing a Schwarz algorithm. We discretize the problem with a semi-implicit Euler scheme in time, and at each time iteration we apply Schwarz algorithm to the resulting linear system. We show the convergence of this algorithm and we end by some numerical experiments. This thesis ends with a last chapter concerning the work done during CEMRACS 2019, where the goal is to extend DPIR (a recent technique for interface reconstruction between two materials) to the case of curved interfaces and of three materials. Some numerical simulations show the results.

Abstract (French)

L'objectif de cette thèse est d'étudier et développer des schémas numériques du type volume finis pour des problèmes provenant de la mécanique des fluides, notamment le problème de Stokes et Navier-Stokes. Les schémas choisis sont du type dualité discrète, dénotés DDFV ; cette méthode travaille sur des grilles décalées, où les inconnus de vitesse sont placés aux centres des volumes de contrôle et aux sommets du maillage, et les inconnus de pression aux arêtes du maillage. Ce type de construction a deux avantages principaux : elle permet de considérer des maillages généraux (qui ne vérifient pas nécessairement la condition d'orthogonalité classique des maillages volumes finis) et de reconstruire à niveau discret les propriétés de dualité des opérateurs différentiels continus. On commence par l'étude de la discrétisation du problème de Stokes avec des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Neumann ; le caractère bien posé de ce problème est strictement lié à l'inégalité Inf-sup, qui doit être vérifiée. Dans le cadre DDFV, cette inégalité a été prouvée pour des maillages particuliers ; on peut éviter cette hypothèse, en ajoutant des termes de stabilisation dans l'équation de conservation de masse. Dans un premier temps, on étudie un schéma stabilisé pour le problème de Stokes en forme de Laplace, en montrant son caractère bien posé, des estimations d'erreur et des tests numériques. On étudie ensuite le même problème en forme divergence, où le tenseur des contraintes remplace le gradient ; ici, on suppose que l'inégalité Inf-sup est vérifiée, et on écrit un schéma bien posé suivi des tests numériques. On considère ensuite le problème de Navier-Stokes incompressible. Initialement, on étude ce problème couplé avec des conditions aux bords « ouvertes » en sortie ; ce type de conditions apparaissent lors qu'on veut introduire une frontière artificielle, qui peut arriver pour des raisons de coût de calcul ou physiques. On écrit un schéma bien posé et des estimations d'énergie, validés par des simulations numériques. Deuxièmement, on s'intéresse à la méthode de décomposition de domaines sans recouvrement pour le problème de Navier-Stokes incompressible, en écrivant un algorithme de Schwarz discret. On discrétise le problème avec un schéma de type Euler semi-implicite en temps, et à chaque itération on applique l'algorithme de Schwarz au système linéaire résultant. Nous montrons également la convergence de cet algorithme et nous terminons par des expériences numériques. Cette thèse se termine par un cinquième chapitre issu d'une collaboration lors du CEMRACS 2019, où le but est d'étendre DPIR (une technique récente pour la reconstruction d'interfaces entre deux matériaux) au cas d'interfaces courbes et de trois matériaux. Des simulations numériques montrent les résultats.

Additional details