Numerical approximation and analysis of mathematical models arising in cells movement

Description

The Phd thesis is devoted to the numerical and mathematical analysis of systems of partial differential equations arising in the modeling of cells movement. The model of nutrient-dependent tumour growth is built and the asymptotic stability of constant steady states for small perturbations is proved. Then the parabolic and hyperbolic models of chemotaxis are approximated using finite differences and finite volume methods. In particular, a consistent scheme, which is well-balanced on steady states with constant velocity, preserves the non negativity of the density and treats the vacuum, is constructed. Having efficient and accurate numerical methods the behaviour of the solutions is analyzed. At first the pure diffusion problem, for which the waiting time phenomenon and regularity under the physical boundary condition are of main concern. Then the attention is focused on the study of existence and stability of non constant stationary solutions and long time behaviour of the hyperbolic model of chemotaxis on a bounded domain.

Abstract (French)

La thèse est d'éditée a l'analyse numérique et mathématique de systèmes d'équations aux dérivées partielles provenant de la modélisation du mouvement des cellules. Nous constructions un modèle de croissance tumorale dépendant des nutriments et nous montrons la stabilité asymptotique des états stationnaires constants pour des perturbations petites. Puis, les modèles paraboliques et hyperboliques de chimiotactisme sont approchés en utilisant des méthodes de différences finis et de volumes finis. En particulier, nous constructions un schéma consistant, le schéma well-balanced pour les états stationnaires a vitesse constante, qui conserve la positivité de la densité et traite le vide. Avec ces méthodes numériques efficaces et précises, le comportement des solutions est analysé. Premièrement le problème de la diffusion pure est étudié et le phénomène du temps d'attente et la régularité sous la condition physique aux bords sont considérés. Puis nous concentrons notre attention sur l'étude de l'existence et de la stabilité des états stationnaires et sur le comportement en temps long du modèle du chimiotactisme sur un domaine borné.

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