Definition et Applications des Extensions des<br />Fonctions Reelles aux Intervalles Généralisés; reformulation de la theorie des intervalles modaux.

Description

The intervals theory allows constructing supersets of the range of real functions. Therefore, in a very natural way it allows constructing some outer approximation of the solution set of systems of real equations. When it is used in conjnuction to some usual existence theorems (e.g. Brouwer or Miranda theorems), the intervals theory also allows to rigorously prove the existence of solutions to such systems of equations.

The modal intervals theory proposed some richer interpretations. In particular, the construction of both subsets and supersets of the range of real functions are in the scope of extensions to modal intervals. As a consequence, the extensions of real functions to modal intervals have the intrinsic power of proving the existence of solutions to systems of equations. In spite of some recent developments that have shown the promising potential applications of these richer interpretations, the modal intervals theory remains unused by most of the interval community. This may be explained by the following arguments:

A) The modal intervals theory has an original and complicated construction. It is not similar to the construction of the classical intervals theory. This makes for example difficult the addition of new developments in the framework of modal intervals.
B) No preconditioning has yet been proposed that would be compatible with the richer interpretations provided by the modal intervals theory.
C) No linearization process has yet been proposed that would be compatible with the richer interpretations provided by the modal intervals theory.

These three points are developed in the present thesis. On one hand, a new formulation of the modal intervals theory is proposed. This new formulation uses only generalized intervals (intervals whose bounds are not constrained to be ordered) and follows the construction of the classical intervals theory. On the other hand, some new preconditioning and linearization processes are proposed which are compatible with the richer interpretations provided by the modal interval theory. The new linearization process which is proposed will have the form of a new mean-value extension to generalized intervals.

These theoretical developments lead to two applications: on one hand, the new mean-value extension to generalized intervals is used to construct an inner approximation of the range of a vector-valued function. This problem is not well solved today using the classical intervals theory. On the other hand, a generalized Hansen-Sengupta operator is proposed. It is dedicated to the outer approximation of non-linear AE-solution sets. It is much simpler and less expensive in computations than the other techniques that can solve the same problems. A comparison of these different techniques remains to be conducted, and will need the integration of the Hansen-Sengupta operator within some bisection algorithm.

Abstract (French)

La théorie des intervalles permet de construire des sur-ensembles du domaine de variation d'une fonction réelle. Ainsi, de manière très naturelle, elle permet de construire une approximation extérieure de l'ensemble des solutions d'un système d'équations. Couplée aux théorèmes usuels d'existence (par exemple les théorèmes de Brouwer ou de Miranda) la théorie des intervalles permet aussi de prouver rigoureusement l'existence de solutions pour un système d'équations.

La théorie des intervalles modaux propose des interprétations plus riches que la théorie de intervalles classiques. En particulier, l'interprétation des extensions aux intervalles modaux permet de prouver directement l'existence de solution d'un système d'équations (sans faire intervenir explicitement les théorèmes d'existence). Malgré les récents développements qui ont montré le potentiel applicatif de la théorie des intervalles modaux, l'utilisation de cette théorie reste fort limitée. Cela peut s'expliquer de la manière suivante:

A) La théorie des intervalles modaux a une construction originale mais compliquée qui est assez éloignée de la construction de la théorie des intervalles classiques. Cela rend par exemple difficile l'ajout de nouveaux concepts.
B) Aucun préconditionnement compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.
C) Aucun protocole de linéarisation compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.

Dans le cadre de cette thèse, ces trois points sont développés. D'une part, une nouvelle formulation des principaux résultats de la théorie des intervalles modaux est proposée. Cette nouvelle formulation est faite dans le cadre des intervalles généralisés (intervalles dont les bornes ne sont pas contraintes à être ordonnées) et reprend la construction de la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un protocole de préconditionnement et un protocole de linéarisation compatibles avec les interprétations des nouvelles extensions aux intervalles généralisés sont proposés. Le protocole de linéarisation proposé aura la forme d'une nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés.

Ces développements théoriques aboutissent à deux applications: d'une part, la nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés est utilisée pour construire une approximation intérieure du domaine de variation d'une fonction à valeurs vectorielles. Ce problème est aujourd'hui mal traité par la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un opérateur généralisé de Hansen-Sengupta dédié à l'approximation extérieure des "AE-solution sets" est proposé. Il est beaucoup plus simple et moins coûteux en temps de calcul que les autres techniques permettant de résoudre ce type de problèmes. Une comparaison de la puissance de résolution de ces différentes techniques nécessitera d'intégrer l'opérateur généralisé de Hansen-Sengupta au sein d'un algorithme de bissection.

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