Minimal Selectors and Fault Tolerant Networks

Description

Un reseau $\plk$ est un graphe non oriente avec $p + \lambda$ entrees, $p + k$ sorties et des noeuds internes de degre $4$. Un reseau $\plk$ est valide si pour n'importe quel choix de $p$ entrees et de $p$ sorties il existe $p$ chemins aretes disjoints reliant les entrees aux sorties. Dans le cas particulier $\lambda = 0$, un reseau $\plk$ est un {selecteur}. Notre objectif est de determiner $N\plk$ : le nombre minimum de noeuds d'un reseau $\plk$ valide. Pour cela, on utilise une condition suffisante de validite qui nous permet d'obtenir les bornes inferieures pour $N\plk$. D'autre part on propose des constructions de reseaux valides utlisant des {expandeurs}, ce qui donne les bornes supperieures. Le probleme depend tres fortement des ordres de $\lambda$ et $k$, par exemple lorsque $\lambda $ et $k$ sont petits par rapport a $p$, certains patterns sont interdits. Pour les valeurs plus grandes de $\lambda$ et $k$, on peut construire un reseau $\plk$ valide a partir d'un graphe ayant de bonne propriete d'expansion concernant les petits ensembles de sommets. Cela nous emmene a introduire un nouveau parametre : la {robustness}. On obtient dans de nombreux cas des bornes asymptotiques exactes.

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